Formule scorciatoie di geometria analitica

Formula dell’area di un triangolo direttamente conoscendo le coordinate dei vertici:
Spesso, dato un triangolo noti i tre vertici A,B,C, viene richiesto di trovarne l’area. E’ vero che c’è la formula di Erone,più sotto riportata, ma ha lo svantaggio che bisogna saper maneggiare il calcolo coi radicali. Ed il metodo di trovare l’altezza etc è molto laborioso. Qua viene riportata la seguente formula che fornisce immediatamente l’area direttamente inserendo le coordinate di A({ x }_{ A };{ y }_{ A }),B({ x }_{ B };{ y }_{ B }),C({ x }_{ C };{ y }_{ C }):
A=\frac { 1 }{ 2 } \left| ({ x }_{ A }-{ x }_{ B })({ y }_{ A }-{ y }_{ C })-({ x }_{ A }-{ x }_{ C })({ y }_{ A }-{ y }_{ B }) \right|
Per memorizzarla si può procedere così:
A=\frac { 1 }{ 2 } \left| (-)(-)-(-)(-) \right|
alterniamo le x con le y:
A=\frac { 1 }{ 2 } \left| (x-x)(y-y)-(x-x)(y-y) \right|
le prime lettere di ogni parentesi son  sempre A:
A=\frac { 1 }{ 2 } \left| ({ x }_{ A }-x)({ y }_{ A }-y)-({ x }_{ A }-x)({ y }_{ A }-y) \right|
alterno B e C nelle x delle tonde iniziali:
A=\frac { 1 }{ 2 } \left| ({ x }_{ A }-{ x }_{ B })({ y }_{ A }-y)-({ x }_{ A }-{ x }_{ C })({ y }_{ A }-y) \right|
alterno nuovamente le y incrociando le lettere, per cui C nella prima e B nella seconda!
A=\frac { 1 }{ 2 } \left| ({ x }_{ A }-{ x }_{ B })({ y }_{ A }-{ y }_{ C })-({ x }_{ A }-{ x }_{ C })({ y }_{ A }-{ y }_{ B }) \right|
Calcolo dell’area di un triangolo note le lunghezze dei lati: formula di Erone:
A=\sqrt { p(p-a)(p-b)(p-c) }
dove p è il semiperimetro cioè p=\frac { a+b+c }{ 2 }

Calcolo dell’area tramite quadrettatura: Teorema di Pick:

Vi è questo curioso risultato (non banale, da non sottovalutare) che permette di calcolare l’area di un triangolo contando i punti della quadrettatura interni ad essi e quelli sul bordo. La formula esatta è la seguente:
A=I+\frac{B}{2}-1
dove I= numero di punti della quadrettatura interni al triangolo, B= numero di tali punti sul bordo.
Tale teorema vale solo per triangoli aventi per vertici punti della quadrettatura. Inoltre tale teorema si estende ad un poligono qualsiasi non intrecciato ed avente tutti i vertici punti della quadrettatura.
Coordinate del Baricentro note le coordinate dei vertici:
G(\frac { { x }_{ A }+{ x }_{ B }+{ x }_{ B } }{ 3 } ;\frac { { y }_{ B }+{ y }_{ B }+{ y }_{ C } }{ 3 } )
G perchè il baricentro è il centro di gravità
Coordinate dell’ Incentro note le coordinate dei vertici e le lunghezze dei lati:
I(\frac { a{ x }_{ A }+b{ x }_{ B }+c{ x }_{ B } }{ a+b+c } ;\frac { a{ y }_{ B }+b{ y }_{ B }+c{ y }_{ C } }{ a+b+c } )
dove a è il lato di fronte al vertice A, b è il tato di fronte a B,…
Rette tangenti ad una parabola condotte da un punto {P}_{0}({ x }_{ 0 };{ y }_{ 0 }):
y-{ y }_{ 0 }=m(x-{ x }_{ 0 })   dove i due valori di m si calcolano così:
{ m }_{ 1,2 }=b+2a{ x }_{ 0 }\pm 2\sqrt { a(a{ x }_{ 0 }^{ 2 }+b{ x }_{ 0 }+c-{ y }_{ 0 }) }
per memorizzarla basta osservare che sotto radice ho la parabola stessa capovolta dove ho sostituito le coordinate del punto moltiplicata per a mentre tutte le altre parti sono facilmente memorizzabili.
Nel caso in cui il punto sia sulla parabola le sue coordinate soddisfano l’equazione della parabola e dunque annullano il radicando. Pertanto i due valori di m coincidono in uno solo { m }_{ 1,2 }=b+2a{ x }_{ 0 }.